Matemáticas aplicadas a los puzzles

[pablicius]

MATEMATICAS APLICADAS A LOS PUZZLES

Dos propuestas de menor a mayor nivel:

1) ¿Cuántas piezas del borde tiene un puzzle?

Las clasificaciones nunca son perfectas. Cuando estás separando el montón grande en otros más pequeños, siempre hay alguna descolocada: en un repaso más detallado aparece alguna que no debería estar, y falta alguna que sí debería estar. Esto es así incluso en la clasificación más sencilla de todas: la de las piezas del borde, las que tienen uno de los lados completamente recto. Siempre queda la duda de si estarán todas. Una solución fácil es contarlas. Pero ¿Cuántas debería haber, para empezar? Si no sabemos esto, no podemos saber si nos falta alguna.

La respuesta viene de saber que los puzzles habitualmente están troquelados en filas y columnas. El que el límite entre filas, y entre columnas, tenga una forma irregular, y que el cruce entre ambas sea lo que haga que las piezas tengan la forma que tienen, no quita para que las filas y las columnas sean perfectamente distinguibles.

Dicho lo cual, el número de piezas del borde viene dado por la fórmula

B = 2xF + 2xC – 4

Siendo:
B = número de piezas del borde
F = número de filas
C = número de columnas

Por ejemplo, un puzzle de 1500 piezas está compuesto por 30 filas y 50 columnas (si es apaisado; si es vertical serán 50 filas y 30 columnas; pero eso no cambia el resultado final). Aplicando la fórmula

B = 2x30 + 2x50 – 4 = 60 + 100 – 4 = 156 piezas

Para un puzzle de 2000 piezas (40 filas x 50 columnas), el resultado es

B = 2x40 + 2x50 – 4 = 176 piezas

La fórmula no es más que sumar las piezas de los dos lados largos, los dos lados cortos, y quitar 4 de las esquinas, que han sido contadas por duplicado.

2) Tiempo de resolución en función de las piezas restantes.

Es un modelo que explica algo que es intuitivo y que todos hemos experimentado: cuantas menos piezas quedan por poner, más rápido se ponen. El ritmo de resolución se acelera exponencialmente conforme se acerca el final, sea del puzzle al completo, o de una subsección cuyas piezas hemos separado (por ejemplo una sección de un determinado color). Al principio se va muy lento: las primeras diez piezas entresacadas de entre una población de cuatrocientas, pueden llevar toda una noche. Cuando quedan doscientas, se pone mucho más rápido, una cada minuto, de promedio. Las últimas cien se ponen en media hora. Las últimas veinte, en el último minuto. Las últimas cinco, en los últimos cinco segundos.

Este modelo se basa en los siguientes supuestos:
a) El que busca, lo hace a un ritmo uniforme entre la población de piezas disponibles.
b) La población de piezas disponibles está ordenada en una secuencia (generalmente extendida en filas y columnas en una mesa o un folio), de forma que se puedan repasar todas por orden, sin repetir ninguna ni saltar ninguna.
c) No hay ninguna distribución de probabilidad dentro de la población, es decir, el orden dentro de ella es al azar. Por ejemplo, si estoy buscando en una población de cuatrocientas piezas blancas, la pieza que en concreto estoy buscando tiene la misma probabilidad de estar la primera de la secuencia, que en la posición 137, que en la 218, que en la última. Todas las posiciones tienen la misma probablidad de contener la pieza buscada; para el ejemplo de 400 piezas, esta probabilidad es del 0.25%.

Con todo lo anterior, el tiempo para encontrar una pieza es, en promedio:

T = P / (2xR)

Siendo
T = tiempo necesario para encontrar la pieza
P = población entre la que se busca
R = ritmo de búsqueda

Por ejemplo si tengo mi población de 400 piezas, y busco entre ellas a un ritmo constante por el que voy revisando 50 piezas / minuto, el tiempo promedio para encontrar la pieza que busco es

T = 400 / (2x50) = 400 / 100 = 4 minutos

Lógico: si la pieza que busco está la primera de las 400, no tardo nada. Si la pieza que busco está la última, tardo 8 minutos en llegar a ella (400 piezas a 50 el minuto, son 8 minutos). En promedio, estadísticamente tardo 4 minutos en llegar a una pieza que puede estar en cualquier posición (y por tanto, probabilísticamente, está justo en el centro de la secuencia). Y conforme saco más piezas, más cierto es el promedio (porque la media real de los tiempos tenderá a la media teórica).

Con esto, el tiempo para colocar las cuatrocientas piezas sería

400 x 4 = 1600 minutos = 26 horas 40 minutos

¿Correcto? Pues evidentemente no. ¿Por qué? Porque el hecho de encontrar una pieza reduce el tamaño de la población. La siguiente ronda de búsqueda no es entre 400 piezas, es entre 399, porque la acabo de encontrar la he puesto en el puzzle y ya no está en la secuencia de búsqueda. La probabilidad de cada una de las posiciones de la serie se ha incrementado, ya no es 0,25% sino 0,2506%, y el tiempo promedio de búsqueda es

T = 399 / (2x50) = 3.99 = 3 minutos 59.4 segundos
Poca diferencia con la anterior. Pero es que solamente hemos puesto una de las cuatrocientas. ¿Qué pasa cuando hemos puesto diez? El tiempo estadístico de resolución de esa pieza es

T = 390 / 100 = 3.9 = 3 minutos 54 segundos.

Aunque no es un cálculo muy muy preciso (me faltan recursos matemáticos para la formulación exacta de la suma de la serie; tal vez alguien con más conocimientos de matemáticas que yo pueda en un comentario formalizar la suma de la serie de un modo exacto; si hay alguien que sepa, animo a que lo haga), sí puedo hacer una aproximación: si en las diez primeras piezas, la más lenta en promedio llevó 4 minutos, y la más rápida 3.9 minutos, esas diez piezas en promedio me han consumido:

(4+3.9)/2 = 3.95 minutos

Lo que en total para las 10 piezas son 39.5 minutos = 39 minutos 30 segundos. Sigue sin ser una gran diferencia respecto a la estimación inicial de 40 minutos: solo hemos gastado medio minuto menos. Pero es que seguimos colocando solo una parte mínima del total: son las primeras 10 de cuatrocientas.

¿Qué pasa cuando hemos puesto 200, y hemos alcanzado la mitad? Que el tiempo esperado para esta pieza ya va por

T = 200 / 100 = 2 minutos.

Y el promedio de las 200 piezas que ya hemos puesto ha sido:

(4+2)/2 = 3 minutos.

Lo que nos da un total de 600 minutos = 10 horas. Teniendo en cuenta que el cálculo inicial era de 4 minutos por pieza, nos llevaba a 800 minutos para las 200 primeras piezas, lo que era 13 h 20 minutos. Ahora sí que empiezan a verse los efectos de la aceleración: vamos 3 h 20 minutos por delante de la previsión.

A partir de aquí la cosa se acelera todavía más: cuando faltan 100 piezas el tiempo de búsqueda es 1 minuto. El tiempo de búsqueda promedio al poner el tramo que va de 200 a 100 piezas es de 1 minuto y medio, lo que da de tiempo total dos horas y media. Para las últimas 100, el promedio es medio minuto, y el tiempo total, 50 minutos. Los tiempos totales serían, para este cutre cálculo hecho con promedios por tramos:

Primeras 200 piezas: 10 horas
Siguientes 100: 2 horas 30 minutos
Ultimas 100: 50 minutos
TOTAL = 13 horas 20 minutos

Todo esto para explicar como llego a la fórmula de aproximación de la duración total de una resolución:

T = Px((P/(2xR))+(1/(2xR)))/2

Es decir, el total de piezas multiplicado por el tiempo promedio de resolución de las mismas, que es el promedio entre el tiempo de resolución de la más lenta (la primera) y la más rápida (la última).

Aplicando la fórmula a nuestro ejemplo:

T = 400 x ((400/100))+(1/100)))/2 = 400 x 4.02/2 = 400 x 2.01 = 804 minutos = 13 horas 24 minutos

La diferencia de 4 minutos respecto al cálculo anterior viene de que esta fórmula le asigna tiempo de resolución incluso a la última pieza: 0,02 minutos, lo que incrementa el promedio en 0,01 minutos; eso, multiplicado por las 400 piezas, da los 4 minutos de diferencia.

[permeables]

Joerrrrr!!!!
Me gustan las matemáticas,soy de esas personas que creen mas en las matemáticas que en Dios,esto lo tengo claro,digo lo de Dios y las matemáticas,este es un idioma universal,como el amor,verdad? jejeje Todos nos podríamos comunicar con las matemáticas y entendernos,yo entiendo tu modelo basado en supuestos,pero claro....cada uno tiene un ritmo y cada ritmo cambia en su momento,así que no se muy bien como aplicar a esto una formula,pero seguro que tenemos alguien bastante mas dado a las mates que yo.
Me gusta el tema,ya veremos..

Ahhhh!!! también creo que las matemáticas se pueden aplicar a todo o casi todo? Bueno,no estoy completamente seguro jejeje si estuviera seguro no andaría por aquí,seguramente estaría haciendo cálculos que se yo de que...

[haujavi]

A mi también me gustan las matemáticas y sobre todo que aplicando las matemáticas a la informática se pueden conseguir cosas chulas, por eso el excel me gusta, vamos, que con esas formulitas se podría hacer un fichero excel majo jejeje

[deezmar]

Me acabo d desmayar... :shock::shock::shock:

[Niea]

Pues yo soy poco dada a aplicar las mates, la verdad... supongo que eso se refleja en la forma de puzzlear... y como he dicho en varias ocasiones, lo de ordenar piezas me parece una pérdida de tiempo... (Que nadie se moleste, cada cual puzzlea como quiere)
Además si tuviese que dedicar el tiempo mentalmente a calcular las piezas del borde... bufff no disfrutaría nada la clasificación... además a medida que vas haciendo puzzle, vas recordando cuantas posibles piezas tienes cada tamaño, dependiendo de la marca...
Yo confío más en la agudeza visual de cada uno, me parece algo esencial en este hobby..., Pero cada cual monta puzzles como mejor le vaya.
Yo para lo único que realmente utilizó las mates, es para distraerme cuando, tengo miedo

[pablicius]

Además si tuviese que dedicar el tiempo mentalmente a calcular las piezas del borde... bufff no disfrutaría nada la clasificación...

Ten en cuenta que el cálculo lleva como... 5 segundos.

lo de ordenar piezas me parece una pérdida de tiempo...

Son formas de verlo. A mí en cambio me parece una pérdida de tiempo buscar entre un montón de piezas desordenadas, sin saber ni cuantas son, y teniendo que hacer el proceso de moverlas todas cada vez. Extendidas por filas y columnas, puedes "volar" sobre ellas e ir parándote solo en las que se parecen a la que estás buscando.

Yo para lo único que realmente utilizó las mates, es para distraerme cuando, tengo miedo

Esta utilidad de las matemáticas me deja perplejo.

[deezmar]

Alguna vez tendría q aprender como distinguir las piezas d filas y columnas xq yo nunca se eso...

[Ahmose]

A mi también me gustan las matemáticas y sobre todo que aplicando las matemáticas a la informática se pueden conseguir cosas chulas, por eso el excel me gusta, vamos, que con esas formulitas se podría hacer un fichero excel majo jejeje

El excel es una pasada, yo cuando aprendí a usar las tablas dinámicas me sorprendí muchísimo. Se pueden hacer cosas que con una consulta SQL necesitarías montones de líneas.

lo de ordenar piezas me parece una pérdida de tiempo...

Son formas de verlo. A mí en cambio me parece una pérdida de tiempo buscar entre un montón de piezas desordenadas, sin saber ni cuantas son, y teniendo que hacer el proceso de moverlas todas cada vez. Extendidas por filas y columnas, puedes "volar" sobre ellas e ir parándote solo en las que se parecen a la que estás buscando.

Yo nunca ordeno desde un principio. Creo que ordenar las piezas al principio se tarda mucho por la cantidad, y las piezas fáciles de identificar siguen siendo visibles incuso sin ordenar. Cuando ya quedan solo las piezas complicadas y problemáticas tiendo a ordenarlas, así no pierdo tanto tiempo en ordenarlas como si lo hiciera al principio y al ordenarlas incremento el ritmo de búsqueda.

Supongo que cada uno tiene sus métodos a mi el que me funciona es el término medio.

Aplicando la fórmula a nuestro ejemplo:

T = 400 x ((400/100))+(1/100)))/2 = 400 x 4.02/2 = 400 x 2.01 = 804 minutos = 13 horas 24 minutos

La formula está muy bien, pero claro en estas cosas afectan muchos factores que le podemos añadir para que se ajunte a la realidad. Por ejemplo el ritmo de búsqueda me parece un factor variable, pues es una habilidad que se incrementa a medida que hacemos el puzzle. A este ritmo le afecta el habituarse a los colores y a la forma de las piezas. También podemos incluir el factor de familiaridad de las piezas, a medida que las vamos analizando para encontrar una en concreto algunas de las piezas se nos van quedando gravadas, por lo que en el momento que vemos un hueco en el que pueden ir ya vamos directamente a esa pieza. Supongo que hay más factores que reduzcan esas 13 horas a las 5 que creo que es la media habitual. Me he basado en mi experiencia pero la de cada uno puede ser distinta.

Aunque no es un cálculo muy muy preciso (me faltan recursos matemáticos para la formulación exacta de la suma de la serie; tal vez alguien con más conocimientos de matemáticas que yo pueda en un comentario formalizar la suma de la serie de un modo exacto;

Para formular la secuencia de sumas de tiempos yo usaría un sumatorio.

[pablicius]

Aplicando la fórmula a nuestro ejemplo:

T = 400 x ((400/100))+(1/100)))/2 = 400 x 4.02/2 = 400 x 2.01 = 804 minutos = 13 horas 24 minutos

La formula está muy bien, pero claro en estas cosas afectan muchos factores que le podemos añadir para que se ajunte a la realidad. Por ejemplo el ritmo de búsqueda me parece un factor variable, pues es una habilidad que se incrementa a medida que hacemos el puzzle.

Aunque no es un cálculo muy muy preciso (me faltan recursos matemáticos para la formulación exacta de la suma de la serie; tal vez alguien con más conocimientos de matemáticas que yo pueda en un comentario formalizar la suma de la serie de un modo exacto;

Para formular la secuencia de sumas de tiempos yo usaría un sumatorio.

Por partes: respecto a la variabilidad de la velocidad de búsqueda, puede ser cierta, pero no tanto como para reducir a la mitad el tiempo. Por mucho que el ojo se acostumbre a las tonalidades (que se acostumbra, es cierto), si tienes 200 piezas entre las que buscar, las tienes que mirar todas. El pasar a vista de pájaro, muy rápido, sobre un conjunto, confiando en que la que buscas va a destacar a simple viste, suele con frecuencia acabar en que no la ves, y tienes que reiniciar el peinado de forma más rigurosa. En cualquier caso, la aplicable a la fórmula sería una velocidad promedio.

Respecto al sumatorio, con el enlace que me has aportado, lo he podido solucionar, muchas gracias. La formulación exacta es

T = (P^2 + P)/4R.

Aplicado al ejemplo de las 400 piezas a 50 / minuto, el resultado es

T = (400^2 + 400) / 4x50 = 160400 / 200 = 802 minutos. No iban muy desencaminadas las aproximaciones hechas con métodos menos precisos, habían dado 800 por un sitio, y 804 por el otro.

[luchino]

Yo nunca ordeno desde un principio. Creo que ordenar las piezas al principio se tarda mucho por la cantidad, y las piezas fáciles de identificar siguen siendo visibles incuso sin ordenar. Cuando ya quedan solo las piezas complicadas y problemáticas tiendo a ordenarlas, así no pierdo tanto tiempo en ordenarlas como si lo hiciera al principio y al ordenarlas incremento el ritmo de búsqueda.

Supongo que cada uno tiene sus métodos a mi el que me funciona es el término medio.

Coincido contigo, yo hago lo mismo. Creo que es más fácil empezar colocando las piezas mas identificables, y luego clasificar las que no se pueden colocar de otra manera, además la clasificación se reduce porque ya quedan muchas menos piezas.

Mmmmmhhh... algo me dice que a Pablicius le gustan las matemáticas

[luchino]

En mi mensaje anterior, la cita es de Amhose , no he quedado bien por culpa de mi torpeza manejando los "quotes", que nunca sé cual hay que borrar y cual no. Mecachis.

[Ahmose]

Yo nunca ordeno desde un principio. Creo que ordenar las piezas al principio se tarda mucho por la cantidad, y las piezas fáciles de identificar siguen siendo visibles incuso sin ordenar. Cuando ya quedan solo las piezas complicadas y problemáticas tiendo a ordenarlas, así no pierdo tanto tiempo en ordenarlas como si lo hiciera al principio y al ordenarlas incremento el ritmo de búsqueda.

Supongo que cada uno tiene sus métodos a mi el que me funciona es el término medio.

Coincido contigo, yo hago lo mismo. Creo que es más fácil empezar colocando las piezas mas identificables, y luego clasificar las que no se pueden colocar de otra manera, además la clasificación se reduce porque ya quedan muchas menos piezas.

Mmmmmhhh... algo me dice que a Pablicius le gustan las matemáticas

Jajaja di la verdad! Lo que pasa es que no tenemos paciencia y queremos empezar a poner piezas inmediatamente

[luchino]

Jajaja di la verdad! Lo que pasa es que no tenemos paciencia y queremos empezar a poner piezas inmediatamente [/quote]

Pues, puede que "haiga" algo de eso, no digo que nó...

[Niea]

Lo de que cada uno monta como mejor le va, ya lo dije.... y no sólo está vez sino varias veces lo he comentado ya...
Sólo añado que muchas mates y ordenar, pero creo que los puzzleros más "rápidos" que hay por el foro son caóticos puzzleando....

Lo de contar para evitar el miedo, es sencillo de entender, normalmente el miedo es psicológico, por lo tanto si distrae la mente con algo puedes controlar el miedo y que mejor manera que distraer a la mente que contar jujuju... a mi me funciona ^^

[haujavi]

Lentos o rápidos, desordenados u ordenados lo importante es pasarselo bien con los puzles